КЦ - Контролирајте квантно рачунање с унитарним оператерима, интерференције и замке

Фото Сагар Дани

Сјајно. Управо смо завршили други део на Кубиту (Куантум бит - основни градивни блок за квантно рачунање). Па како можемо да га контролишемо? За разлику од класичног рачунања, на кубите не примењујемо логичке операције или уобичајену аритметику. У квантном рачунању нема „док је изјава“ или „изјава гранања“. Уместо тога, развијамо унитарне операторе за манипулацију кбитима принципом интерференције у квантној механици. Звучи фантастично, али заправо врло директно. Погледаћемо у концепт унитарних оператора. Као споредну ноту, размотрићемо њен однос са Сцхродингеровом једначином, тако да не обликујемо концепт против природе. Напокон, гледамо у заплете, мистичну квантну појаву.

Квантна врата

У класичним рачунарима примењујемо основне логичке операторе (НОТ, НАНД, КСОР, АНД, ОР) на битове како бисмо изградили сложене операције. На пример, следеће је додавање појединог бита са ношењем.

Квантни рачунари имају потпуно различите основне операторе који се зову квантна капија. Не компајлирамо постојећи Ц ++ програм који се покреће на квантном рачунару. Обоје имају различите операторе, а квантно рачунање захтева различите алгоритме да би их искористили. У квантном рачунању ради се о манипулисању кубитима, уметањем у њих и мерењем истих. Вратимо се Блоцх сфери. Концептуално, операције квантног рачунања манипулишу Φ и θ суперпозиције како би се померале тачке дуж површине сфере јединице.

Математички говорећи, суперпозицијом се манипулише линеарним оператором У у облику матрице.

За један кубит, оператор је једноставно 2 × 2 матрица.

Сцхродингерова једначина (изборно)

Природа делује наивно једноставно! Математика је само линеарна алгебра коју учимо у средњој школи. Између мерења, стања манипулишу линеарни оператори користећи матрично множење. Када се мери, суперпозиција пропада. Иронично је да је линеарност велико разочарање фанова научне фантастике. Ово је опште својство квантне динамике. Иначе је путовање временом или путовање брже од светлости могуће. Ако започнемо са овим линеарним оператором (тачније унитарним оператором), можемо извући Сцхродингерову једначину, камен темељац квантне механике у опису како се стања развијају у квантној механици. Из супротне перспективе, Сцхродингерова једнаџба закључује линеарност природе.

Извор

Овде можемо да напишемо Сцхродингерову једначину као

где је Х Хермиција. То показује како се стања линеарно развијају у природи.

Једнаџба је линеарна, тј. Ако су и ψ1 и ψ2 валидна решења за Сцхродингерову једнаџбу,

његова линеарна комбинација је опште решење једначине.

Ако су | 0⟩ и | 1⟩ могућа стања система, његова линеарна комбинација биће његово опште стање - то је принцип суперпозиције у квантном рачунању.

Унитар

Наш физички свет не дозвољава све могуће линеарне операторе. Оператор мора бити јединствен и испуњавати следеће захтеве.

где је У † транспонирани, сложен коњугат У. На пример:

Математички, унитарни оператер чува норме. Ово је предивно својство да укупна вероватноћа буде једнака једној након трансформације стања и да задржи суперпозицију на површини јединичне сфере.

Ако доље погледамо рјешење Сцхродингерове једнаџбе, природа се покорава истом јединственом правилу. Х је херметичар (транспонирани комплексни коњугат херметичара једнак је себи). Помножавање оператора са његовим транспонираним сложеним коњугатом једнак је матрици идентитета.

Следи пример Х где постоји једнолично магнетно поље Е₀ у правцу з.

Примјена унитарне операције на | ψ⟩ резултира ротацијом у з-оси.

Али шта је стварно значење јединства у стварном свету? То значи да су операције реверзибилне. За сваки могући рад постоји још један који може да поништи радњу. Баш као што гледате филм, можете га репродуковати унапред и природа дозвољава његовом колеги У † да репродукује видео уназад. Заиста, можда нећете приметити да ли репродукујете видео напред или назад. Готово сви физички закони су реверзибилни у времену. Неколико изузетака укључују мерење у квантној динамици и други закон термодинамике. Приликом дизајнирања квантног алгоритма ово је веома важно. Ексклузивно операција ИЛИ (КСОР) у класичном рачунару није реверзибилна. Информације су изгубљене. С обзиром на излаз 1, не можемо разликовати да ли је изворни улаз (0, 1) или (1, 0).

У квантном рачунању операторе називамо квантним капијама. Када дизајнирамо квантна врата, будемо сигурни да је то унитарно, односно постојат ће још једна квантна капија која може вратити стање у првобитно стање. Ово је важно од тада

ако је оператор унитарни, он се може имплементирати у квантном рачунару.

Једном када се докаже да је јединствен, инжењери не би требали имати проблема да га примене, бар теоретски. На пример, ИБМ К рачунари, сачињени од суправодљивих кругова, користе микроталасне импулсе различите фреквенције и трајања да управљају кубима дуж површине Блоцхове сфере.

Да бисмо постигли јединственост, понекад излажемо део уноса да бисмо испунили овај захтев, као што је онај испод, чак и ако изгледа сувишан.

Погледајмо једну од најчешћих квантних капија, Хадамардову капију коју је линеарни оператор дефинисао као следећу матрицу.

или у ноћењу Дирац

Када применимо оператера у уп-спин или довн-спин стање, променимо суперпозиције у:

Ако се мери, обојица имају једнаке шансе да се заврте или заврте на доле. Ако поново применимо капију, враћа се у првобитно стање.

Извор

тј. транспонирани коњугат Хададарда је сама Хадамардова капија.

Кад применимо УУ †, он се враћа на изворни унос.

Према томе, Хадамардова капија је јединствена.

Квантно рачунање заснива се на сметњи и запетљању. Иако можемо квантно рачунати математички без разумијевања ових појава, демонстрирајмо то брзо.

Сметање

Таласи се мешају конструктивно или деструктивно. На пример, излаз се може увећати или спљоштити у зависности од релативне фазе улазних таласа.

Која је улога интерференције у квантном рачунању? Урадимо неке експерименте.

Мацх Зехндер Интерферометар (извор)

У првом експерименту припремамо све улазне фотоне да имају поларизацијско стање | 0⟩. Тај ток поларизираних фотона равномерно је подељен с расподјелом снопа Б на 45 °, тј. Подијелит ће сноп на два ортогонално поларизирана свјетла и изаћи у засебним стазама. Затим користимо огледала за рефлектирање фотона на два одвојена детектора и за мерење интензитета. Из перспективе класичне механике, фотони су се поделили на две одвојене стазе и равномерно ударали на детекторе.

У другом горњем експерименту, ставили смо још један разводник снопа пред детекторе. По интуицији, клипови снопа делују независно један од другог и раздвајају светлосни ток на две половине. Оба детектора би требало да открију половину светлосних зрака. Вероватноћа да фотон дође до детектора Д₀ помоћу 1-пута црвене боје је:

Укупна шанса да фотон дође до Д₀ је 1/2 са 1-стазе или 0-стазе. Тако оба детектора откривају половину фотона.

Али то се не подудара са експерименталним резултатом! Само Д₀ открива светлост. Моделирамо транзицију стања за раздјелник снопа са Хадамардовом капијом. Дакле, за први експеримент је стање фотона после цепача

Када се измери, половина ће бити | 0⟩, а половина ће бити | 1⟩. Снопови светлости су подељени равномерно на две различите стазе. Тако ће се наша капија Хадамард ускладити с класичним израчуном. Али да видимо шта се догодило у другом експерименту. Као што је претходно показано, ако припремимо све улазне фотоне да буду | 0⟩ и проследимо их у две Хадамардове капије, сви ће фотони бити | 0⟩ поново. Када се мери, само Д₀ ће открити светлосни сноп. Ниједан неће достићи Д₁ све док не обавимо никакво мерење пре оба детектора. Експерименти потврђују да је квантно рачунање тачно, а не класично. Да видимо како интерференција игра улогу овде у другој Хадамардовој капији.

Као што је приказано у даљем тексту, компоненте исте рачунарске основе конструктивно или деструктивно ометају једна другу како би произвеле тачан експериментални резултат.

Можемо припремити улазни фотонски сноп да буде | 1⟩ и поновити обрачун поново. Стање након првог цепача разликује се од првобитног фазом π. Ако сада меримо, оба експеримента ће извршити иста мерења.

Међутим, када поново примените врата Хадамарда, једна ће произвести | 0⟩, а једна ће произвести | 1⟩. Међање ствара сложене могућности.

Дозволите ми да урадим још један забаван експеримент који има врло значајну импликацију на цибер-сигурност.

Ако ставимо други детектор Дк након првог раздвајача, експеримент показује да ће оба детектора сада открити половину фотона. Да ли се подудара са прорачуном квантне механике? У доњој једначини, када додамо мерење после првог цепника, форсирамо колапс у суперпозицији. Коначни резултат ће бити другачији од једног без додатног детектора и поклапа се са експерименталним резултатом.

Природа нам говори да ако знате којим путем иде фотон, оба детектора ће открити половину фотона. У ствари, то можемо постићи само са једним детектором на једној од стаза. Ако није обављено мерење пре оба детектора, сви фотони завршавају у детектору Д₀ ако је фотон спреман да буде | 0⟩. Опет, интуиција нас доводи до погрешног закључка, док квантне једначине остају поуздане.

Ова појава има једну критичну импликацију. Додатно мерење уништава оригиналне сметње у нашем примеру. Стање система се мења након мерења. Ово је једна од кључних мотивација квантне криптографије. Можете дизајнирати алгоритам такав да ако хакер пресреће (одмери) поруку између вас и пошиљаоца, можете открити такав упад без обзира колико нежно може бити мерење. Јер ће образац мерења бити различит ако га пресретнете. Теорема о клонирању у квантној механици тврди да квантно стање не може тачно дуплицирати. Тако хакер такође не може да дуплира и поново пошаље оригиналну поруку.

Изван квантне симулације

Ако сте физичар, можете искористити понашање интерференције у квантним капијама да бисте симулирали исту сметњу у атомским светима. Класичне методе раде са теоријом вероватноће са вредностима већим или једнаким нули. Претпоставља се независност која није тачна у експериментима.

Квантни механизам тврди да је овај модел погрешан и уводи модел са сложеним и негативним бројевима. Уместо да користи теорију вероватноће, она користи сметње за моделирање проблема.

Па какву корист доноси нефизичару? Сметња се може третирати као исти механизам као и јединични оператер. Може се лако имплементирати у квантном рачунару. Математички гледано, унитарни оператор је матрица. Како се број кубица повећава, добивамо експоненцијални раст коефицијената с којима се можемо играти. Овај јединствени оператер (уплитање у очи физичара) омогућава нам да манипулирамо свим овим коефицијентима у једној јединој операцији, што отвара врата за масовне манипулације подацима.

Ентанглемент

Уопштено, научници верују да без заплетања, квантни алгоритми не могу показати надмоћ над класичним алгоритмима. На жалост, разлоге не разумемо добро и зато не знамо како да алгоритам прилагодимо како би искористио свој пуни потенцијал. Због тога се запетљавање често спомиње приликом увођења квантног рачунања, али не много касније. Из овог разлога ћемо објаснити шта је заметање у овом одељку. Надајте се да сте научник који ће разбити тајну.

Размотрите суперпозицију 2-кбита.

где | 10> значи да су две честице у доњем и горњем спину.

Размотримо следеће композитно стање:

Можемо ли сложити стање на два појединачна стања,

Не можемо јер то захтева:

Квантна механика показује један неинтуитивни концепт. У класичној механици верујемо да разумевање целог система може да се постигне разумевањем добро свих компоненти. Али у квантној механици,

Као што је претходно приказано, можемо да моделирамо композитно стање и савршено направимо предвиђања мерења.

Али, то не можемо описати или схватити као две независне компоненте.

Замишљам овај сценарио као што се пар венчао 50 година. Увек ће се сложити шта треба учинити, али не можете наћи одговоре када се према њима поступа као према засебним особама. Ово је превише поједностављен сценарио. Постоји много могућих стања заплетања

и биће много теже описати их када се повећава број кубика. Изводећи квантне операције, знамо како су компоненте корелиране (заплетене). Али пре било ког мерења, тачне вредности остају отворене. Запетљавање ствара корелације које су далеко богатије и вероватно много теже да класичан алгоритам ефикасно опонаша.

Следећи

Сада знамо како манипулирати кубитима с унитарним операцијама. Али за оне који су заинтересовани за квантне алгоритме, требало би да прво знамо шта је ограничење. У супротном, можете занемарити које су ствари тешке у квантном рачунању. Али за оне који први желе знати више о квантним вратима, други чланак могу прочитати пре првог.